Selasa, 16 Maret 2010

Gerak Translasi dan Rotasi

A. Momen Gaya

Momen gaya merupakan salah satu bentuk usaha dengan salah satu titik sebagai titik acuan. Misalnya anak yang bermain jungkat-jungkit, dengan titik acuan adalah poros jungkat-jungkit. Pada katrol yang berputar karena bergesekan dengan tali yang ditarik dan dihubungkan dengan beban.

Momen gaya adalah hasil kali gaya dan jarak terpendek arah garis kerja terhadap titik tumpu. Momen gaya sering disebut dengan momen putar atau torsi, diberi lambang t (baca: tau).

Gambar:

Menarik beban menggunakan katrol

t = F . d

Satuan dari momen gaya atau torsi ini adalah N.m yang setara dengan joule.

Momen gaya yang menyebabkan putaran benda searah putaran jarum jam disebut momen gaya positif. Sedangkan yang menyebabkan putaran benda berlawanan arah putaran jarum jam disebut momen gaya negatif.

Gambar:

Skema permainan jungkat jungkit

Titik 0 sebagai titik poros atau titik acuan.

Momen gaya oleh F1 adalah t1 = + F1 . d1

Momen gaya oleh F2 adalah t2 = – F2 . d2

Pada sistem keseimbangan rotasi benda berlaku resultan momen gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan:

t = 0

Pada permainan jungkat-jungkit dapat diterapkan resultan momen gaya = nol.

t = 0

- F2 . d2 + F1 . d1 = 0

F1 . d1 = F2 . d2

Pada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan:

∑ F = 0

Pada mekanika dinamika untuk translasi dan rotasi banyak kesamaan-kesamaan besaran yang dapat dibandingkan simbol besarannya.

Perbandingan dinamika translasi dan rotasi

Translasi

Rotasi

Momentum linier

p = mv

Momentum sudut*

L = I

Gaya

F = dp/dt

Torsi

= dL/dt

Benda massa

Konstan

F = m(dv/dt)

Benda momen

inersia konstan*

= I (d/dt)

Gaya tegak lurus

terhadap momentum

F = x p

Torsi tegak lurus

momentum sudut

= L

Energi kinetik

Ek = ½ mv2

Energi kinetik

Ek = ½ I2

Daya

P = F . v

Daya

P = .

Analogi antara besaran translasi dan besaran rotasi

Konsep

Translasi

Rotasi

Catatan

Perubahan sudut

s

s = r.

Kecepatan

v = ds/dt

= d/dt

v = r.

Percepatan

a = dv/dt

= d/dt

a = r.

Gaya resultan, momen

F

= F.r

Keseimbangan

F = 0

= 0


Percepatan konstan

v = v0 + at

= 0 + t


s = v0t = ½ at2

= 0t + ½t2


v2 = + 2as

2 = + 2


Massa, momen kelembaman

m

I

I = miri2

Hukum kedua Newton

F = ma

= I


Usaha

W = F ds

W = d


Daya

P = F.v

P = I


Energi potensial

Ep = mgy



Energi kinetik

Ek = ½ mv2

Ek = ½ I2


Impuls

F dt

  dt


Momentum

P = mv

L = I


Contoh

F2

30o

O A

B 37o

F1

Dari gambar di atas, tentukan momen total terhadap poros O. Jarak

OA = 4m dan OB = 8 m, gaya F1 = 10 N, dan F2 = 6 N.

Jawab

Pada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol,

Untuk gaya F1

r1 = OB = 8 m

Besar momen gaya t1 = F1 sin 1. r1

= 10 . sin 37. 8

= 10 . 0,6 . 8

= 48 N.m

Arah momen gaya t1 searah perputaran jarum jam

Untuk gaya F2

r2 = OA = 4 m

Besar momen gaya t2 = F2 sin 2. r2

= 6 . sin 30. 4

= 6 . 0,5 . 4

= 12 N.m

Arah momen gaya t2 berlawanan arah perputaran jarum jam

Momen gaya total adalah

t = t2 + t2

= 48 + 12

= 60 Nm

Momen Kopel

Kopel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar dan berlawanan arah. Kopel yang bekerja pada sebuah benda akan menghasilkan momen kopel yang mengakibatkan benda berotasi. Momen kopel disimbolkan M

F F F -

+

M F d

d d d

F F F

(a) (b) (c)

Gambar (a) menunjukkan sebuah kopel bekerja pada suatu benda. Untuk

gambar (b) menunjukkan bahwa kopel bertanda positif jika putarannya searah

dengan perputaran jarum jam, tetapi jika perputaran kopel berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, maka kopel bertanda negatif seperti gambar (c).

Jika pada benda bekerja beberapa kopel maka resultan momen kopel total benda tersebut adalah

M = M1 + M2 + M3 + … + Mn

Contoh

F4

F1

P 1m 2m 1m

Q

F3

F2

Jawab:

Batang PQ panjangnya 4m. Pada batang tersebut bekerja empat buah gaya F1 = F3 = 5 N, dan F2 = F4 = 8 N, seperti tampak pada gambar di samping. Tentukan besar dan arah momen kopel pada batang PQ tersebut.

Gaya F1 dan F3 yang berjarak d = 3m membentuk kopel yang arahnya searah perputaran jarum jam (+) dan besarnya:

M 1 = F x d = 5 x 3 = 15 N m

Gaya F2 dan F4 yang berjarak d = 3 m membentuk kopel yang arahnya berlawanan arah perputaran jarum jam (-) dan besarnya:

M 2 = F x d = 8 x 3 = 24 N m

Resultan momen kopel adalah:

M = M1 + M2

= 15 + ( 24)

= 9 N m

Tanda negatif (-), menunjukkan bahwa momen kopel resultan

arahnya berlawanan dengan arah perputaran jarum jam.

Koordinat Titik Tangkap Gaya Resultan

Jika terdapat beberapa gaya yang bekerja pada bidang XY, maka setiap gaya tersebut dapat diuraikan atas komponen-komponennya pada sumbu-X dan sumbu-Y. Misalkan, komponen-komponen gaya pada sumbu-X adalah F1x, F2x, F3x,,Fnx, yang jaraknya masing-masing terhadap sumbu-X adalah y1, y2, y3,,yn .

Sedangkan komponen-komponen gaya pada sumbu-Y adalah F1 y , F 2y , F 3y , ,Fny , yang jaraknya masing-masing terhadap sumbu-Y adalah x1, x2, x3,…,xn . Semua komponen gaya pada sumbu-X dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan F x yang jaraknya yo dari sumbu-X, demikian juga semua komponen gaya pada sumbu-Y dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan F y yang jaraknya xo dari sumbu-Y.

Koordinat titik tangkap dapat ditentukan dengan persamaan sebagai berikut.

xo = =

yo = =

Jadi koornitat titik tangkap (xo,yo)

Contoh

Y

F2=5N

F3=7N

X

Dari gambar di samping, tentukan besar, arah, dan letak titik tangkap resultan.

-3 -1 0 2 3

F1=-3N

F4=-2N

Jawab

Semua gaya sejajar sumbu-Y, gaya ke atas positif dan ke bawah negatif, resultan gaya adalah:

Fy = F1 + F2 + F3 + F4

= -3 + 5 + 7 – 2 = 7 N (arah ke atas)

Letak titik tangkap gaya resultan adalah:

xo =

xo =

xo =

  1. Momen Inersia Benda Tegar

Benda tegar adalah benda padat yang tidak berubah bentuk apabila dikenai gaya luar. Dalam dinamika, bila suatu benda tegar berotasi, maka semua partikel di dalam benda tegar tersebut memiliki percepatan sudut yang sama. Momen gaya atau gaya resultan gerak rotasi didefinisikan sebagai berikut.

”Apabila sebuah benda tegar diputar terhadap suatu sumbu tetap, maka resultan gaya putar (torque, baca torsi) luar terhadap sumbu itu sama dengan hasil kali momen inersia benda itu terhadap sumbu dengan percepatan sudut”.

Dirumuskan sebagai berikut.

 = Fi Ri Sin i atau = ( mi R2 i ) .

mi Ri2 disebut momen inersia atau momen kelembaman benda terhadap sumbu putar, yaitu penjumlahan hasil kali massa tiap partikel dalam suatu benda tegar dengan kuadrat jaraknya dari sumbu.

Dirumuskan:

I = mi . Ri2

Definisi lain dari momen inersia adalah perbandingan gaya resultan (momen) terhadap percepatan sudut.

Dirumuskan:

I =

maka = I .

 = I

Karena = F . R dan = I .

maka F . R = I .

Percepatan tangensial adalah juga percepatan linier a, yaitu percepatan singgung tepi roda.

a = . R

=

persamaan menjadi :

F . R = I .

Momen inersia harus dinyatakan sebagai hasil kali satuan massa dan kuadrat satuan jarak. Untuk menghitungnya harus diperhatikan bentuk geometri dari benda tegar homogen.

Tabel berikut menunjukkan momen inersia beberapa benda homogen.

1 komentar: